对于一组数据，通常可以用多项式来拟合，当然对于有周期规律的数据，我们也可以用傅里叶级数来拟合。

傅里叶级数公式形式如下：

当我们确定好n之后，关键就是求出A0、an、bn和w即可。

由于有待求系数在非线性函数cos和sin中，我们用非线性最优化方法来求解。

matlab代码如下：

clear all;close all;clc;

n=7; %傅里叶级数的阶数

x = (0:0.1:5)';

y = x - x.^2+ 10*cos(2*x).*sin(x)+5*cos(2*x); %构造一个模型

% y = [zeros(25,1);ones(26,1)]; %试试阶跃

plot(x,y,'ro')

epsilon = 1e-6;

epsilon_inv = 1/epsilon;

pre=rand(2*n+2,1);

for i=1:500 %非线性迭代优化

f0 = func(pre,x,n);

g = y - f0;

%数值计算雅克比

for k = 1:length(pre)

x_ = pre;

x_(k) = pre(k) + epsilon;

jac(:, k) = (func(x_,x,n) - f0) .* epsilon_inv;

end

J = jac;

delta = inv(J'*J + eye(2*n+2))*J'* g;

pcur = pre+delta;

if norm(delta) <1e-16

break;

end

pre = pcur;

end

hold on;

x=0:0.01:5;

plot(x,func(pre,x,n),'g.');

legend('待拟合数据','傅里叶拟合结果')

function y=func(a,x,n) %傅里叶级数函数

y=a(1);

for i=1:n

y= y + a(i*2)*cos(i*x*a(end)) + a(i*2+1)*sin(i*x*a(end));

end

end

结果如下：

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感兴趣的朋友还可以和多项式拟合比较一下，下面是和6阶做的对比，代码我就不贴了，明显傅里叶拟合效果更好些（当然，如果多项式堆阶数效果应该也还可以）。